Konuyu seç
İntegral · Konu özeti
Ters türev ve belirsiz integral
F′(x) = f(x) ise ∫ f(x) dx = F(x) + C. Sabitin türevi sıfır olduğu için aynı türevi veren bir fonksiyon ailesi vardır; C bu yüzden yazılır. Sonucu türev alarak kontrol et.
İntegral alma kuralları
Kuvvet kuralı (n ≠ −1): ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C. Sabit katsayı dışarı alınır, toplam ve fark terim terim integre edilir. Çarpım önce açılır; kök ve paydalı terimler kuvvet biçiminde yazılır: √x = x^(1/2), 1/x² = x⁻².
Başlangıç koşulu
Türev verilince integral alınır, verilen nokta değeriyle C bulunur. İkinci türevden fonksiyona dönmek için iki kez integral gerekir.
Değişken değiştirme
İntegralde bir iç ifade ve onun türevi birlikte varsa u = g(x), du = g′(x) dx seçilir. Integral u ile çözülür, sonra yeniden x yazılır. Yalnız sabit katsayı eksikse katsayıyla dengelenir.
Riemann toplamı
[a, b] aralığı n eşit parçaya bölünür, Δx = (b − a)/n. Her şeridin yüksekliği ile genişliği çarpılıp toplanır: Σ f(xᵢ*) · Δx. Şeritler inceldikçe toplam belirli integrale yaklaşır.
Belirli integral ve özellikleri
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a); sonuca + C yazılmaz. Sınırlar yer değiştirirse işaret değişir, aralık bölünebilir, sabit dışarı alınır. Simetrik aralıkta tek fonksiyonun integrali 0’dır.
Alan
Belirli integral eksenin üstünü artı, altını eksi sayar. Geometrik alan için kökleri bul, aralığı böl, eksi parçaların işaretini değiştir. İki eğri arası alan: kesişimleri bul, üstteki eksi alttaki.
Sık sorulanlar
Belirsiz integralde + C neden yazılır?
Türevi aynı olan sonsuz sayıda fonksiyon vardır: x², x² + 5 ve x² − 7’nin türevi 2x’tir. + C bu ailenin tamamını gösterir.
Belirli integrale neden + C yazılmaz?
F(b) − F(a) hesaplanırken C’ler birbirini götürür. Sonuç C’ye bağlı olmayan bir sayıdır.
Belirli integral her zaman alanı mı verir?
Hayır. Eğri eksenin altına inerse o parçanın katkısı eksi sayılır. Geometrik alan için eksi parçaların işareti değiştirilip toplanır.
Çarpımın integrali, integrallerin çarpımı mıdır?
Hayır. Örneğin ∫ x · x dx = x³/3 + C, ama ∫ x dx · ∫ x dx = x⁴/4 olur. Önce çarpımı aç.
Değişken değiştirmede u nasıl seçilir?
Türevi integralin içinde çarpan olarak bulunan iç ifade seçilir. Örneğin 2x(x² + 1)³ için u = x² + 1, çünkü du = 2x dx içeride var.
İki eğri arasındaki alanda hangisi çıkarılır?
İlgili aralıkta üstte kalan eğriden alttaki çıkarılır. Sıra değişiyorsa aralık kesişim noktalarında bölünür.