Konuyu seç
Limit ve Süreklilik · Konu özeti
Yaklaşma
x → a⁻ yazınca x, a’ya soldan (a’dan küçük değerlerle), x → a⁺ yazınca sağdan (a’dan büyük değerlerle) yaklaşır. x hiçbir zaman a’ya eşit olmaz; yalnızca ona istediğimiz kadar yaklaşır.
Sol ve sağ limit
Soldan yaklaşırken f(x)’in yaklaştığı sayı sol limit, sağdan yaklaşırken yaklaştığı sayı sağ limittir. İki yönlü limit ancak ikisi aynı sayıysa vardır. Dere gibi düşün: iki kıyı aynı yükseklikteyse limit o yüksekliktir.
Limit ve nokta değeri
Limit çevreye bakar, f(a) noktaya bakar. f(a) tanımsız olsa da limit olabilir; f(a) başka bir sayı olsa da limit değişmez. Limit = f(a) olunca yol birleşir: bu süreklilik demektir.
Limit özellikleri
Ayrı limitler varsa ve sonluysa toplamın limiti limitlerin toplamıdır; fark, çarpım ve sabitle çarpma için de aynısı geçerlidir. Bölümde paydanın limiti 0 olmamalıdır. Polinomlarda x yerine a yazmak yeter.
0/0 belirsizliği
Yerine yazınca 0/0 çıkması bir cevap değildir. Engeli tanı: polinom farkında çarpanlara ayır, köklü farkta eşlenikle çarp, kesirli farkta ortak payda kur, mutlak değerde işareti incele. Sadeleştirme eksik noktayı tanım kümesine geri eklemez.
Sonsuz davranış
Sonsuz bir sayı değil, sınırsız davranıştır. f(x) → +∞, çıktının üst sınır olmadan büyümesi demektir. x → ±∞ iken en yüksek dereceli terimler belirleyicidir: pay derecesi küçükse limit 0, eşitse baş katsayıların oranı, büyükse ±∞. √x² = |x| olduğunu unutma.
Süreklilik
f, a noktasında sürekli ise üç şey birlikte doğrudur: limit vardır, f(a) tanımlıdır ve limit = f(a). Elektrik kablosu gibi: hiçbir yerden kopmadıysa akım lambaya ulaşır.
Sık sorulanlar
0/0 çıkarsa limit yok mu demektir?
Hayır. 0/0 yalnızca ifadeyi daha ayrıntılı incelememiz gerektiğini söyler. Sonuç bir sayı, sonsuz ya da limitsizlik olabilir. Çoğu zaman çarpanlara ayırma veya eşlenikle çarpma sonucu verir.
f(a) tanımsızsa limit olabilir mi?
Evet. Limit, x a’ya yaklaşırken f(x)’in nereye gittiğine bakar; a noktasındaki değere bakmaz. Örneğin (x² − 4)/(x − 2) fonksiyonu 2’de tanımsızdır ama limiti 4’tür.
Sol ve sağ limitin ortalaması limit olur mu?
Hayır. Sol limit 1, sağ limit 3 ise iki yönlü limit yoktur; 2 değildir.
+∞ bir limit değeri midir?
Sonsuz bir gerçek sayı değildir. lim f(x) = +∞ yazmak, fonksiyonun sınırsız büyüdüğünü anlatır; sonlu bir limit olmadığı anlamına gelir.
Limit varsa fonksiyon sürekli midir?
Her zaman değil. Süreklilik için f(a) tanımlı olmalı ve limite eşit olmalıdır. Limit var ama f(a) yoksa ya da farklıysa giderilebilir süreksizlik vardır.
x → −∞ iken √x² neden −x olur?
√x² = |x|’tir. x negatifken |x| = −x olur. Bu yüzden negatif yönde kökten dışarı −x çıkar ve sonucun işareti değişebilir.