Bu sahnede ne var?
Bayrak direğinden dönme dolaba kadar, gördüğün her şeyin içinde bir açı var. Trigonometri, açıdan uzunluk, uzunluktan açı bulmanın yoludur.
Trigonometri · Konu özeti
Dik üçgende oranlar
Dik üçgende bir α açısı için: sin α = karşı kenar / hipotenüs, cos α = komşu kenar / hipotenüs, tan α = karşı kenar / komşu kenar. Bu oranlarla bir açı ve bir uzunluk bilinince diğer uzunluklar bulunur: gölgeden yükseklik, merdivenin ulaştığı yer, rampanın açısı.
Birim çember
Yarıçapı 1 olan çemberde, x ekseniyle θ açısı yapan noktanın koordinatları (cos θ; sin θ)’dır. Sinüs ve kosinüs −1 ile 1 arasında değişir. I. bölgede hepsi pozitif, II. bölgede sadece sinüs, III. bölgede sadece tanjant, IV. bölgede sadece kosinüs pozitiftir.
Özel açılar
sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2. Kosinüste sıra tersine döner: cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2. tan 45° = 1.
Toplam ve fark formülleri
sin(a ± b) = sin a · cos b ± cos a · sin b. cos(a ± b) = cos a · cos b ∓ sin a · sin b. Bu formüllerle örneğin sin 75° = sin(45° + 30°) = (√6 + √2)/4 hesap makinesiz bulunur.
İki kat açı formülleri
sin 2a = 2 sin a · cos a. cos 2a = cos² a − sin² a = 1 − 2 sin² a = 2 cos² a − 1. Bir topun atış menzili sin 2θ ile orantılıdır; bu yüzden en uzak atış 45° ile yapılır.
Trigonometrik denklemler
sin x = sin α ise x = α + k · 360° veya x = 180° − α + k · 360°. cos x = cos α ise x = ±α + k · 360°. tan x = tan α ise x = α + k · 180°. Dönme dolap ve saat kolları gibi tekrar eden olaylar bu denklemlerle çözülür.
Sık sorulanlar
Trigonometri günlük hayatta nerede kullanılır?
Bina ve ağaç yüksekliği ölçmede, rampa ve yol eğiminde, güneş paneli yerleştirmede, gemi ve uçak rotalarında, seste ve müzikte, dönme dolap gibi dönen sistemlerde, haritacılıkta ve namaz vakitlerinin hesabında kullanılır.
sin(a + b) = sin a + sin b midir?
Hayır. Örneğin sin(30° + 60°) = sin 90° = 1 ama sin 30° + sin 60° ≈ 1,37. Doğru formül: sin(a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b.
%10 eğim 10 derece mi demektir?
Hayır. %10 eğim, tan α = 0,10 demektir; açı yaklaşık 5,7°’dir. %100 eğim ise 45°’dir.
sin x = 1/2 denkleminin tek çözümü 30° mi?
Hayır. [0°, 360°) aralığında 30° ve 150° olmak üzere iki çözümü vardır. Bütün çözümler: x = 30° + k · 360° veya x = 150° + k · 360°.
İkindi vakti gölgeyle nasıl hesaplanır?
Türkiye’de Diyanet takvimi “asr-ı evvel” esasını kullanır: Bir cismin gölgesi, öğle vaktindeki gölgesine kendi boyu eklenince ikindi vakti başlar. Güneşin o andaki yüksekliği tanjant ile bulunur. Kesin vakitler için Diyanet takvimi esas alınır.